На зачёте вам будет выдан один вопрос. Пользоваться принесёнными с собой материалами при подготовке ответа можно. Во время ответа и ответа на доп. вопросы — нельзя. Также во время ответа я попрошу решить задачу по мотивам контрольных и домашнего задания.
Я год за годом постепенно отхожу от изложения, данного в моём учебнике 2007 года издания, поэтому при подготовке некоторых вопросов вам придётся заглядывать в другие источники. К счастью, теперь появились видеозаписи лекций. Обратите внимание, что в учебнике совершенно не затронуты такие понятия, как:
- Дедекиндово сечение
- Алеф и бэт-числа
- Теорема Кёнига
- Конфинальность
- Возведение кардиналов в степень
Быстро восполнить определения вы можете из следующих сайтов:
- английской википедии (качество и полнота математических статей там традиционно на порядок лучше, чем в русской),
- wolfram mathworld,
- planetmath.org (этот сайт испытывает вечные технические проблемы, но на нём часто есть то, чего нет у других).
Такие ключевые концепции, как:
- построение натуральных чисел
- трансфинитная рекурсия
- доказательство теорем методом «вычерпывания» элементов множеств
изложены в учебнике «темно и вяло», на лекциях я старался более просто и ясно излагать материал. Изложение теоремы о квадрате дано на лекции другим способом (без использования леммы Цорна).
Опечатки
Находить опечатки, не попавшие в errata.pdf, в учебнике всё сложнее, но они там по-прежнему есть (только осенью-2015 я обнаружил ещё две). Поэтому предложение по-прежнему актуально: плюс три балла к оценке по 10-балльной шкале за новую опечатку.
Если вы сдаёте введение в теорию множеств
Что обязательно необходимо осознать и выучить (знания на «три балла»):
- Названия и словесные формулировки аксиом ZFС, иметь представление о смысле и роли каждой из них.
- Понимать, что такое коллективизирующие и неколлективизирующие отношения и мотивировку аксиоматизации теории множеств.
- Операции над множествами. Люди, не ответившие на вопрос «что такое булеан множества? Чему равно P({1,2})?» будут уходить с незачётом без дальнейших вопросов.
- Названия и символьные формулировки стандартных аксиом на бинарном отношении на двух и на одном множествах. Определения функции, инъекции, сюръекции, биекции, эквивалентности, строгого/нестрогого частичного/линейного порядка.
На что необходимо обратить внимание (знания на «четыре балла»):
- Понятия, связанные со сравнением множеств по мощности.
- Определения фундированного, вполне упорядоченного множества, изоморфизма порядков, разбираться в простых примерах изоморфных и не изоморфных множеств.
- Формулировки теорем Кантора-Бернштейна, Кантора, о счётной/трансфинитной индукции, о счётной/трансфинитной рекурсии, Цермело.
- Уметь продемонстрировать (доказать) парадоксы Рассела, Кантора, Бурали-Форти.
Знания на «пять баллов»:
- Доказательства сложных теорем важно понимать на уровне идей. Не требуется запоминать технические детали, скажем, доказательства теорем о рекурсии. Но умение кратко объяснить, например, что такое трансфинитная индукция и дать эскиз доказательства необходимы! (Эскиз доказательства в следующей форме: множество x вполне упорядоченно, значит, у любого подмножества есть минимальный элемент… построим такое подмножество x, что… его минимальный элемент должен одновременно обладать свойствами… эти свойства противоречивы, значит…)
- Возможность без подготовки или с подготовкой не более чем, скажем, 5-10 минут (без шпаргалок и учебников) высказать основные положения (можно без доказательств) по любому из вопросов к зачёту.