Вопросы к зачёту, осень 2013

  1. Язык первого порядка теории множеств, отношения «принадлежать» и «быть подмножеством». Аксиома экстенсиональности и отношение равенства.
  2. Система аксиом Цермело–Френкеля и простейшие следствия из аксиом.
  3. Понятие коллективизирующего соотношения. Термы вида {x | A} и операции над множествами, которые могут быть построены на их основе.
  4. Упорядоченная пара по Куратовскому, декартово произведение и проекции множеств.
  5. Множество натуральных чисел по фон Нейману. Возможные способы построения множеств целых, рациональных и действительных чисел с арифметическими операциями.
  6. Cчётная индукция и рекурсия.
  7. Бинарные отношения на двух множествах, их разновидности и основные свойства. Прообразы, обратные отношения, композиции отношений.
  8. Теорема Кантора–Шрёдера–Бернштейна.
  9. Теорема Кантора. Парадокс Кантора «наивной» теории множеств.
  10. Конечные и бесконечные множества. Критерий Дедекинда бесконечности множества.
  11. Бинарные отношения на одном множестве, их разновидности и основные свойства. Теорема о классах эквивалентности.
  12. Минимальные/наименьшие, максимальные/наибольшие элементы и грани частично упорядоченных множеств.
  13. Изоморфизмы порядков. Изоморфные и не изоморфные частично упорядоченные множества.
  14. Ординалы: определение и основные свойства. Несуществование множества всех ординалов (парадокс Бурали–Форти «наивной» теории множеств).
  15. Теорема о трансфинитной индукции. Сравнимость любых двух ординалов по отношению принадлежности.
  16. Предельные и последующие ординалы. Представимость любого ординала в виде суммы предельного ординала и натурального числа.
  17. Трансфинитная рекурсия. Изоморфность любого вполне упорядоченного множества ординалу.
  18. Теорема Цермело о вполне упорядочении произвольного множества в теории ZF с аксиомой выбора. Её следствие о сравнимости любых двух множеств по мощности.
  19. Кардиналы: определение. Алеф-числа, бэт-числа. Континуум-гипотеза.
  20. Лемма Цорна.
  21. Теорема о квадрате. Соотношения |a| + |b| = |a||b| = max(|a|, |b|) для бесконечных множеств в ZFC.