Вопросы к зачёту, осень 2018

  1. Отношения «принадлежать» и «быть подмножеством». Аксиома экстенсиональности и отношение равенства множеств. Парадокс Рассела. Аксиоматизация теории множеств (система Цермело-Френкеля).
  2. Упорядоченная пара по Куратовскому, декартово произведение. Функция, инъекция, сюръекция, биекция. Проекции, образы и прообразы, композиции. Возведение в степень для множеств.
  3. Аксиома бесконечности и построение множества натуральных чисел по фон Нейману. Счётная индукция и рекурсия. Построение арифметических операций.
  4. Сравнение множеств по мощности. Теорема Кантора–Бернштейна.
  5. Теорема Кантора. Парадокс Кантора.
  6. Построение множества вещественных чисел: Дедекиндовы сечения и бесконечные двоичные дроби. Мощность континуума. Примеры и свойства множеств мощности континуума.
  7. Бинарные отношения на одном множестве: эквивалентность и порядок. Минимальные/наименьшие, максимальные/наибольшие элементы и грани частично упорядоченных множеств.
  8. Изоморфизмы порядков. Изоморфные и не изоморфные частично упорядоченные множества. Изоморфность счетных плотных линейно упорядоченных множеств без наибольшего и наименьшего элементов.
  9. Фундированные и вполне упорядоченные множества. Фундированность множества натуральных чисел. Условие обрыва убывающих цепей. Сравнимость любого множества по мощности с множеством натуральных чисел.
  10. Ординалы: определение и основные свойства. Упорядоченность и фундированность произвольного множества ординалов. Несуществование множества всех ординалов (парадокс Бурали–Форти).
  11. Теорема о трансфинитной индукции. Доказательство сравнимости любых двух ординалов по отношению принадлежности с помощью трансфинитной индукции.
  12. Предельные и последующие ординалы. Критерий определения типа ординала. Представимость любого ординала в виде суммы предельного ординала и натурального числа.
  13. Трансфинитная рекурсия и её приложение для доказательства теорем методом «вычерпывания» элементов. Изоморфность любого вполне упорядоченного множества ординалу.
  14. Теорема Цермело о вполне упорядочении. Её следствие о сравнимости любых двух множеств по мощности.