- Язык первого порядка теории множеств, отношения «принадлежать» и «быть подмножеством». Аксиома экстенсиональности и отношение равенства.
- Система аксиом Цермело–Френкеля и простейшие следствия из аксиом.
- Понятие коллективизирующего соотношения. Термы вида {x | A} и операции над множествами, которые могут быть построены на их основе.
- Упорядоченная пара по Куратовскому, декартово произведение и проекции множеств.
- Множество натуральных чисел по фон Нейману. Возможные способы построения множеств целых, рациональных и действительных чисел с арифметическими операциями.
- Теоремы о счётной индукции и рекурсии. Примеры построения множеств с помощью счётной рекурсии.
- Бинарные отношения на двух множествах, их разновидности и основные свойства. Прообразы, обратные отношения, композиции отношений.
- Теорема Кантора–Шрёдера–Бернштейна.
- Сравнение множеств по мощности. Арифметические операции над мощностями и их основные свойства.
- Теорема Кантора. Парадокс Кантора «наивной» теории множеств.
- Конечные и бесконечные множества. Критерий Дедекинда бесконечности множества.
- Бинарные отношения на одном множестве, их разновидности и основные свойства. Теорема о классах эквивалентности.
- Минимальные/наименьшие, максимальные/наибольшие элементы и грани частично упорядоченных множеств.
- Изоморфизмы порядков. Изоморфные и не изоморфные частично упорядоченные множества.
- Ординалы: определение и основные свойства. Несуществование множества всех ординалов (парадокс Бурали–Форти «наивной» теории множеств).
- Теорема о трансфинитной индукции. Сравнимость любых двух ординалов по отношению принадлежности.
- Предельные и последующие ординалы. Представимость любого ординала в виде суммы предельного ординала и натурального числа.
- Теорема о трансфинитной рекурсии.
- Теорема Цермело о вполне упорядочении произвольного множества в теории ZF с аксиомой выбора. Её следствие о сравнимости любых двух множеств по мощности.
- Кардиналы: определение. Алеф-числа, бэт-числа. Континуум-гипотеза.
- Лемма Цорна. Эквивалентность аксиоме выбора теоремы Цермело и леммы Цорна.
- Теорема о квадрате. Соотношения |a| + |b| = |a||b| = max(|a|, |b|) для бесконечных множеств в ZFC.