Из книг Рассела я читал только «Историю западной философии» (когда готовился к поступлению в аспирантуру). Однако во множестве математических монографий мне попадаются цитаты из работ Рассела по логике и теории множеств или просто приписываемые Расселу высказывания, поражающие остроумием и образностью и при этом являющиеся прекрасными иллюстрациями к серьёзным математическим концепциям. У меня таких «анекдотов» накопилось уже несколько, и я всё время пересказываю их студентам на семинарах. Вот они (привожу по памяти и без указания источников, поскольку всё это, похоже, уже превратилось математический фольклор, кочующий из учебника в учебник):

Парикмахер и неколлективизирующие одноместные предикаты

Кажется очевидным, что всякому одноместному предикату (например: «a — смертен», «x в квадрате равно четырём», «p — простое число») соответствует множество объектов, для которых этот предикат истинен (например, «множество всех смертных», «множество всех таких x, что x * x = 4», «множество всех простых чисел»). Тем не менее, это не так. Сложные примеры не образующих множества («неколлективизирующих») предикатов были открыты Георгом Кантором и Чезаре Бурали-Форти в конце XIX века, но потрясающе простой, по сравнению с ними, пример был предложен Б. Расселом около 1904 года. Вот он: «x — множество, не являющееся своим собственным элементом». В самом деле: предположим, что имеется множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента. Содержит ли такое множество себя в качестве элемента? Как положительный, так и отрицательный ответ ведёт к противоречию, из чего делается вывод, что такого множества попросту не существует (хотя и существуют множества, не являющиеся собственным элементом).

Расселу же принадлежит знаменитый «популярный вариант» этого примера, называемый «парадоксом деревенского парикмахера». Одному деревенскому паркикмахеру приказали брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется. Должен ли парикмахер брить самого себя? Если парикмахер не будет брить себя, он нарушит приказ в части «брить всякого, кто сам не бреется». Если парикмахер будет брить себя, он нарушит приказ в части «не брить того, кто сам бреется». Значит, нет такого парикмахера, который мог бы выполнить этот приказ — как нет множества всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента. Причина в том, что данный парикмахеру приказ внутренне противоречив, хотя на первый взгляд так не кажется.

Папа Римский и правило слабого НЕ-удаления

Грубо говоря, «правило слабого НЕ-удаления» есть логическая теорема, утверждающая, что из ложного высказывания выводится какое угодно высказывание. Абсолютно любое. Говорят, когда Папа Римский в разговоре с Расселом узнал об этом, то очень удивился — как такое может быть? На это Рассел ответил: «Очень просто. Смотрите, как из утверждения 2+2 = 5 выводится, что я — это Вы:

1. Предположим, что 2+2=5.
2. Вычтем двойку из обеих частей: 2=3.
3. Переставим левую и правую части: 3=2.
4. Вычтем из обеих частей по единице: 2=1.
5. Папа Римский и я — нас двое. Так как 2=1, то Папа Римский и я — одно лицо. Следовательно, я — Папа Римский.»

Тристрам Шенди (джентельмен) и критерий Дедекинда

Может ли часть множества иметь столько же элементов, сколько исходное множество? В определённом смысле — да. Например, множество всех чётных чисел (2, 4, 6…), хотя и является подмножеством натуральных чисел (1, 2, 3…), равномощно ему: в самом деле, каждому чётному числу n соответствует уникальное для этого n натуральное число n/2, и каждому натуральному числу m соответствует уникальное для этого m чётное число 2m. Разумеется, такое сопоставление имеет место в силу бесконечности множеств натуральных и чётных чисел, и в теории множеств доказывается теорема («критерий Дедекинда»), которая гласит, что множество равномощно своей части тогда и только тогда, когда оно бесконечно.

В одной из работ по логике Рассел пишет примерно следующее: «В романе Л. Стерна „Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена“ герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и еще один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим Шенди сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет ее завершить. Я утверждаю, что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной. Действительно, события n-го дня Шенди мог бы описать за n-й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатленным. Так что, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.»

Ботинки, носки и аксиома выбора

Пусть имеется (возможно, очень большое, бесконечное) семейство непустых непересекающихся множеств. Можем ли мы, грубо говоря, из каждого из этих множеств выбрать по одному элементу и составить из этих элементов ещё одно множество — т. е. существует ли множество, имеющее один и только один общий элемент с каждым из множеств, принадлежащих семейству?

На первый взгляд кажется — почему бы нет. Но история c деревенским парикмахером приучила нас к осторожности.

Утверждение о существовании такого множества для любого семейства непересекающихся множеств называется аксиомой выбора. Если ввести эту аксиому в теорию множеств, то из неё получаются некоторые довольно странные следствия. К примеру, из аксиомы выбора выводится так называемый парадокс Банаха-Тарского, утверждающий, что шар может быть разрезан на конечное количество (неизмеримых по Лебегу) частей, из которых затем могут быть составлены два шара, равных исходному — с этим здравый смысл и практический опыт не могут согласиться. Но, с другой стороны, на основании аксиомы выбора доказываются и некоторые важные и общепризнанные теоремы математического анализа. Спор об истинности аксиомы выбора — один из самых известных споров в математике XX века, и потребовались гении Гёделя и Коэна для того, чтобы доказать: аксиома выбора и её отрицание (как это имеет место для аксиомы Евклида о параллельных прямых) независимы от остальных аксиом теории множеств: мы можем принять аксиому выбора за истину или за ложь и получить две разные непротиворечивые теории множеств (как в случае с евклидовой и неевклидовой геометрией), каждая ничем не лучше и не хуже другой. (Вопрос «как же на самом деле» есть вопрос вкуса или метафизики, формалисты вообще считают, что «самого дела» нет.)

Обсуждая ситуации, в которых можно и в которых нельзя обойтись без аксиомы выбора, Бертран Рассел приводил такой пример: пусть имеется бесконечное количество коробок с ботинками. Можем ли мы выбрать из них множество, содержащее по& nbsp;одному ботинку из каждой коробки? Да, можем: например, при помощи логического условия «x — ботинок на левую ногу», и аксиома выбора тут не нужна. Теперь пусть у нас имеется бесконечное количество пакетов, в каждый из которых вложена пара носков. Т. к. носки в паре совершенно одинаковы, то, чтобы выбрать из каждого пакета по одному носку, не обойтись без аксиомы выбора. Кстати, для конечного количества пакетов с носками аксиома выбора тоже не нужна: в этом случае мы можем просто взять и выбрать по носку из каждого пакета. Ведь это же элементарно!